BAB 12 RELASI

Pengertian Relasi

Definisi relasi adalah himpunan bagian antara A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan A secara tunggal, dengan elemen yang pada B.

Produk Cartesius dan Relasi

dinyatakan sebagai produk cartesius adalah jika himpunan A dan B dua himpunan maka produk cartesius dari A ke B adalah himpunan semua pasangan berurut (x,y) .

Diagram Cartesius

Cara membuat relasi dengan diagram Cartesius adalah anggota himpunan pertama atau himpunan A diletakkan pada sumbu horizontal
Anggota himpunan kedua atau himpunan B diletakkan pada sumbu vertikal
Buatlah Noktah (∙) yang menunjukkan relasi antara himpunan A dengan himpunan B.

Misalnya

Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan (x, y) jika x ∈ A dan y ∈ B

Cara menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan adalah

Pasangan diletakkan di dalam kurung dan dipisahkan oleh koma.
Anggota himpunan pertama atau himpunan A diletakkan pada bagian depan
Anggota himpunan kedua atau himpunan B diletakkan di belakang

Misalnya: Nyatakan himpunan berikut dalam himpunan pasangan berurutan dengan relasi “kurang dari”

Jika A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

Penyelesaian

1 kurang dari 2, 3, 4, 5

2 kurang dari 3, 4, 5

3 kurang dari 4,5

4 kurang dari 5

maka himpunan pasangan berurutnya adalah:

{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}

Matriks relasi dan diagram panah, relasi invers

 Penyajian Matriks relasi

Di sini baris matriks menyatakan anggota himpunana A sedangkan kolommatriks menyatakan anggota himpunana B. Element baris ke i kolom ke j matriks kita isi angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari B), atau dengan perkataan lain pasangan (i,j) є R . Dalam hal ini , elemen matriks kita si denngan 0.

Contoh : Untuk relasi R = ((1,p),(1,q),(2,q),(3,p)) yang lalu ,penyajian matriks relasinya M .

 Penyajian Diagram panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

Contoh : Himpunan P = {2, 3, 4, 6} dan Q = {1,2,3,4,6,8} dan “faktor dari” adalah relasi yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk

diagram panah.

Menjelaskan kembali mengenai relasi invers, dan komposisi relasi

Relasi invers

Bila pada relasi R dari A ke B kita balik seluruh pasangan terurutnya , komponen pertama menjadi komponen ke dua dan sebaliknya komponen ke dua menjadi komponen pertama , maka terbentuk lah sebuah relasi dari B ke A yang

merupakan invers dari R . Jadi kalau R = ((a,b) I a є A, b є B), maka inversnya R-1 = ((b,a) I b є B , a є a ).

Contoh : kalau R = ((1,1) ,(4,2) , (16,4)), maka R =((1,1) ,(2,4) , (4,16). Sedangkan kalau R = (( 1,p) ,(1,q), (2,q) , (3,p), maka R-1 = ((p,1) , (1,1) , (1,2) , (p,3). Kalau R adalah “ x adalah istri dari y” , maka inversnya adalah “ x adalah suami dari y”.

Komposisi relasi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S ο R = {(a,c) | a ϵ A, c ϵ C, dan untuk beberapa b ϵ B, (a,b) ϵ R dan (b,c) ϵ S}

Contoh : R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s,t,u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah

S ο R = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

SIFAT-SIFAT RELASI

a) Refleksif

Yaitu sebuah relasi R pada A bersifat refleksif jika aϵA, berlaku (a R a). Relasi ini mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1.

Contoh : relasi “kenal dengan”bersifat refleksif, sedangkan relasi “mengagumi” tidak refleksif.

b) Simetri

Yaitu sebuah relasi simetri jika aϵA dan bϵA berlaku a R b ≡ b R a, relasi R pada himpunan A disebut simetri jika untuk semua a,bϵA jika (a,b)ϵR, maka (b,a)ϵR.

Contoh : relasi = pada Z bersifat simetri, karena a, b ϵ Z, berlaku a=b≡b=a

Relasi ≤ pada Z tidak simetri, karena 1 ≤ 2 ≠ 2≤1

c) Antisimetri

Sebuah relasi R pada A bersifat antisimetri jika untuk semua a,bϵA, (a,b) ϵ R dan (b,a) ϵ R hanya jika a=b. Contoh : relasi < pada Z bersifat antisimetri, karena b,c ϵ z berlaku b < c ^ c < b → b=c.

d) Transitif

Sebuah relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) ϵ R dan (b,c) ϵ R, maka (a,c) ϵ R untuk a,b,c ϵ A. Contoh : relasi < pada Z bersifat transitif, sebab a,b,c ϵ Z berlaku jika a < b dan b

Menjelaskan Mengenai Partisi

Partisi adalah koleksi himpunan bagian dari A yaitu A1, A2, ….An dengan sifat :

à himpunan saling asing yang masing-masing partisi saling berelasi. Relasi ekuivalensi pada himpunan A akan membentuk suatu partisi

posted under |