BAB 14 PROPOSISI
Konsep
dan Notasi Dasar
Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau
salah (false), tetapi tidak keduanya.
Contoh
1
Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
a) 13 adalah bilangan ganjil.
b) 1 + 1 = 2.
c) 8 akar kuadrat dari 8 + 8.
d) Ada monyet di bulan.
e) Hari ini adalah hari Rabu.
f) Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka 2n
adalah bilangan genap.
g) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.
Contoh
2
Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi
(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
(b) Isilah gelas tersebut dengan air!
(c) x + 3 = 8
(d) x > 3
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r,
….
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka 2n
adalah bilangan genap.
r : 2 + 2 = 4 2
Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Konjungsi (conjunction): p dan q
Notasi p q,
2. Disjungsi (disjunction): p atau q
Notasi: p q
3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p
Notasi: p
p q p q p q p q p q
T T T T T T T F
T F F T F T F T
F T F F T T
F F F F F F
Contoh
3
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik:
(a) Pemuda itu tinggi dan tampan
(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak
tampan
(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun
tampan
Penyelesaian:
(a) p q
(b) p q
(c) p q
(d) (p q)
(e) p (p q)
(f) (p q)
Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Kondisional atau implikasi : p q
2. Konvers (kebalikan) : q p
3. Invers : ~ p ~ q
4. Kontraposisi : ~ q ~ p
Implikasi
Konvers Invers Kontraposisi
p q ~ p ~ q p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T
Bikondisional
(Bi-implikasi)
Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
Notasi: p q
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T 5
Tabel
kebenaran
Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi,
dan ingkaran
p
|
Q
|
p ^ q
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
p
|
Q
|
p v q
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
P
|
q
|
T
|
F
|
F
|
T
|
Contoh soal: Jika p, q, radalah proposisi.
Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika
(p ^ q) v (~q ^ r)
Penyelesaian:
Ada 3 buah proposisi atomic di dalam ekspresi logika
dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah
kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah buah. Tabel kebenaran dari
proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.
Tabel 1.2 tabel kebenaran proposisi (p ^ q) v
(~q ^ r)
p
|
Q
|
r
|
p ^ q
|
~q
|
~q ^ r
|
(p ^ q) v (~q ^ r)
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk
berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau
selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing
proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi majemuk
disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya
disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
Tautologi
dan Kontradiksi
Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar
untuk semua kasus
Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia
salah untuk semua kasus.
TAUTOLOGI
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah.
Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi
kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi kuliah
B Tini pergi kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri
dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah
premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A →
B (Premis)
(2) C →
B (premis)
(3) (A V C) →
B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) →
((A V C) → B
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ʌ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa
pernyataan majemuk :
((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B
adalah semua benar (Tautologi)[2].
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:
(p ʌ ~q) p
Pembahasan:
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan
Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T).
maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu
benar.
[(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
p
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai
kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan
majemuk [(p q) ʌ
p] p q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran
atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi
logika.
Contoh:
(p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v
q
~p v ~q v q
~p v T
T ………….(Tautologi)
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa
pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena
hasilnya T (true) atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari
pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu:
P
|
q
|
(p ʌ q)
|
(p ʌ q) q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk
(p ʌ q) q merupakan Tautologi.
q (p v q)
penyelesaian:
q (p v q) ~q
v (p v q)
~q v (q v p)
T v p
T …………(Tautologi)
KONTRADIKSI
Contoh dari Kontradiksi:
(A ʌ ~A)
Pembahasan:
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan
bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan
kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
Ekivalensi
Logika
Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p,
q, ..) disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran
yang identik.
Notasi: P(p, q, …) Q(p, q, …)
Contoh . Hukum De Morgan: ~(p q) ~p ~q.
p q p q ~ (p q) ~ p ~q ~ p ~ q
T T T F F F F
T F F T F T T
F T F T T F T
F F F T T T T
Hukum
– Hukum Proposisi
Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalen logika,
memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di
bawah.Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan
riil, misalnya a(b + c) = ab + ac, yaitu hukum distributif, sehingga
kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar
proposisi.
1. Hukum identitas
i.
p v F ó p
ii.
p ^ T ó p
|
2. Hukum null dominasi
i.
p ^ F ó F
ii.
p v T ó T
|
3. Hukum negasi
i.
p v ~p ó T
ii.
p ^ ~p ó F
|
Hukum idempotent
i.
p v p ó p
ii.
p ^ p ó p
|
5. Hukum involusi
~(~p) ó p
|
Hukum penyerapan
i.
p v (p ^ q) ó p
ii.
p ^ (p v q) ó p
|
7. Hukum komutatif
i.
p v q ó q v p
ii.
p ^ q ó q ^ p
|
Hukum assosiatif
i.
p v (q v r) ó (p v q) v r
ii.
p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r
|
9. Hukum distributif
i.
p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r)
ii.
p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)
|
10. Hikum de morgan
i.
~(p ^ q) ó ~p v ~q
ii.
~(p v q) ó ~p ^ ~q
|
Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk
membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel
kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya
pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu
proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi atomic, maka table kebenarannya
terdiri dari baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis
menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat baris di
dalam tabel kebenarannya
Implikasi
Adalah suatu pernyataan majemuk p dan q yang
digabung dengan memakai kata hubung logika “jika…maka…”.
Implikasi suatu pernyataan dilambangkan dengan p→q.
Dibaca :
Jika p maka q
p berimplikasi q
q hanya jika p
p syarat cukup untuk q
q syarat perlu untuk p
Pada implikasi, p disebut anteseden
(hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).
Nilai kebenaran: untuk p→q bernilai salah hanya
berlaku untuk p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.
p
|
Q
|
p→q≡¬pVq
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Implikasi
Logis
“jika Andi rajin belajar maka Andi naik kelas”
Jika pada kenyataannya Andi rajin belajar maka
sebagai konskuensi logis dari pernyataan di atas pasti Andi naik kelas.
Misal p: Andi rajin
belajar
q:
Andi naik kelas
maka
((p→q)∧p)→q, nilainya akan
selalu benar.
p
|
Q
|
p→q
|
((p→q)∧p)
|
((p→q)∧p)→q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
FUNGSI
PROPOSISI DAN HIMPUNAN KEBENARAN
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang
mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek).
Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D,
P(x) adalah proposisi.
Contoh :
Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan
ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi
proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n)
adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah
tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan
ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil
bernilai salah.
Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada
N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah
himpunan kebenarannya.
0 komentar:
Posting Komentar